수학놀이

01
어릴 때 읽은 책 중에, “과학자들은 셰익스피어도 모른다.”고 과학자들의 무식함과 교양 없음을 비웃는 인문사회학자들의 이야기가 있었다. 분기탱천. 다른 어떤 책에선 이런 비웃음을 조롱하는 내용이 나오는데, “인문사회학자들은 열역학 법칙도 모른다.”는 내용이었다. 따지고 보면, 이런 식의 반응들 모두 좀 웃기다. 그럼에도 확실히 영화나 소설의 내용을 얘기하는 것과 미적분학을 얘기하는 건, 다른 무게와 느낌을 지닌다.

일테면 어떤 이야기를 하다가 쉽게 설명하려는 목적으로 최근 개봉한 영화나 인기 소설의 내용을 얘기하면 적잖은 호응을 유발할 수 있다. 내용을 몰라도 어느 정도 흥미를 유발할 수도 있고. 하지만 예를 든답시고 미적분학이나 좌표를 그리고 그래프를 그리며 설명한다면? 차라리 예를 들지 않는 것이 낫다.

이건, 그 사회에서 어떤 지식을 교양이나 상식으로 간주하고 어떤 지식을 전문지식이나 쓸데없이 어려워서 몰라도 되는 것으로 간주하는가를 알려준다. 수학 뿐 아니라 철학 같은 이야기들도, 아는 게 이상한 상황이고. ‘무언가는 필수적으로 알아야 한다.’는 것 자체가 논쟁적인데도 교양이나 상식이란 말은 이런 논쟁을 피해가기 마련이다. 트랜스젠더 이슈와 관련해서도, 대충 하리수란 이름을 알고 적당히 “쿨”한 태도만 유지할 수 있으면 되지, 그 이상 얘기하지 않는 것 역시 이 사회에서 트랜스젠더가 어떤 상황에 있는지를 알려주는 것처럼.

02
중고등학생시절, 무한의 세계를 배웠는지는 잘 모르겠다. 아마 유한의 세계에서 수를 배운 것 같다. 유한을 기본 토대로 가정하고 얘기할 때, 자연수 전체에서 자연수 전체의 개수(엄밀하게는 계수 혹은 농도)와 짝수의 개수는 다르다. 예를 들어 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}의 자연수 집합을 가정하면, 즉, 자연수가 10개인 유한집합을 가정할 때, 짝수 {2, 4, 6, 8, 10}의 개수는 자연수 개수와 동일할 수 없다. 간단하게 세어만 봐도, 자연수 전체는 10갠데 짝수인 자연수는 5개니까.

아는 사람들에겐 ‘진부한’ 내용이지만, 무한의 세계에서 짝수인 자연수와 자연수 전체의 개수는 동일하다. 이건 함수(혹은 일대일 대응)를 통해 간단하게 설명할 수 있다. f(n)=2n이라고 하면,
n=1일 때, f(1)=2
n=2일 때, f(2)=4
란 식으로 나타난다.
위에서 예로 든 {1, 2, …, 10}인 유한집합을 가정하면 짝수인 자연수의 개수와 자연수 전체의 개수가 동일할 수 없다. 하지만 무한집합을 가정하면
1 → 2
2 → 4
…
100 → 200
…
즉, 모든 자연수는 짝수인 자연수와 일대일 대응이 가능하단 점에서 둘의 ‘개수’는 동일하다. 홀수인 자연수의 개수 역시 일대일 대응을 통해, 자연수의 개수(계수, 농도)와 동일하다.

그럼 홀수인 자연수의 농도 N1과 짝수인 자연수의 농도 N2를 더하면 자연수 전체의 농도 N의 두 배일까? N1 + N2 > N 일까? 당연히 아니다. 홀수인 자연수의 농도를 1, 짝수인 자연수의 농도를 1이라고 하면, 1+1=1이다.

어느 하나가 틀리고 어느 하나가 맞다는 게 아니라, 어떤 가정과 전제에서 출발하느냐에 따라 접근하는 방식과 상상 자체를 바꿀 필요가 있다는 걸 알려주는 간단한 예 중에 하나다. 모든 수학 수업은 첫 시간에 공리와 정의를 설명하는데서 출발한다. 이는 현재 설명하고 있는 내용은 무엇을 가정하고 어떤 토대에서 출발하는지를 명확하게 밝히는 작업이기도 하다. 적어도 내게, 수학은 현재의 논의가 정확하게 어떤 가정과 전제에서만 가능한지를 명확하게 밝히면서 전개하는 것으로 다가왔다. 그래서 수학을 좋아했고, 수학을 듣는 과정에서 철학적인 의미를 캐고 싶었다. 하지만(혹은, 바로 이런 이유로)수학도 철학도 공부하지 않고 4년이 넘는 시간을 보냈다. 살짝 아쉽지만, 나중에, 한참 세월이 지나면 다시 시작할 수 있으니까.

03
[수학의 약점]은 이런 이유로 재밌는 책이다. 비록 저자들이 드는 예시나 어떤 관점은 상당한 짜증을 유발하지만, “수학은 스스로의 약점을 먹고 자란다.”란 관점에서 기술하는 내용은 상당히 재밌다(아마, 이런 관점은 누군가를 떠올리게 할지도… 흐흐). 수학은 그 자체로 완결하고 모순 없는 체계가 아니며, 한 사회의 관습적은 인식과 무관한 것도 아니다. 수학은 언제나 모순투성이고 이런 모순을 인정하며 어떻게든 해결하려는 방향으로 발달한다. 지금은 무한이란 말이 빈번하게 사용하는 개념이지만, 수학에서, 과학에서 무한은 오랫동안 논해선 안 되는 금기의 대상이었던 것처럼.