괴델, 불완전성

레베카 골드스타인 [불완전성: 쿠르트 괴델의 증명과 역설] 고중숙 옮김, 서울: 승산, 2007

01

이것은 한 철학사전에서 괴델의 정리를 설명한 글을 저자가 인용한 구절이다. 더 간단하고도 무식하게 말하면, 모순이 없는 체계 내에선 참일 때에도 증명할 수 없는 명제들이 있고, 어떤 체계는 그 자체의 체계를 통해 자신의 무모순성을 증명할 수 없다는 얘기다. 슬쩍 바꿔 말하면, 특정한 인식이나 통념으로는 그 통념이 올바른지, 적절한지, 문제가 없는지를 확정할 수 없다는 얘기다. 이를 나는 어떤 식으로 해석했냐면

직접 쓰지 않고 이렇게 인용한 건, 나 역시 괴델의 불완전성 정리를 거의 이런 식으로 해석했기 때문이다. 하지만 저자가 정확하게 지적하고 있듯, 괴델은 저자가 정의하는 방식으로의 “포스트모더니즘”을 주장하지 않는다. 오히려 괴델은 저 너머 어딘가에 수학자들이 발견해야 할 진리가 있고, 세상은 절대적인 논리로 구축되어 있다고 믿었다. 그리고 이런 신념의 연장에서 불완전성 정리가 등장한다. 불완전성 정리를 이 책의 저자 방식으로 간략하게 해제하면

괴델의 논리가 등장하기 직전 시대는, 수학은 직관 없이 오직 형식적 논리를 통해 완전한 체계를 구축할 수 있다고 믿었다. 그래서 증명할 수 없는 건 없다고 믿었다. 괴델의 증명은 바로 이런 믿음의 토대를 근본적으로 흔든 증명이다. 그렇다고 괴델이 모든 것은 상대적이다고 주장하려고 했던 건 아니다. 오히려 괴델은 모든 것은 그렇게 일어날 수밖에 없는 논리적 근거가 있다고 믿었다.

02
괴델을 처음 만난 게 고등학생 시절이었으니, 꽤나 오랜 시간이 지났다. 그때 처음으로 괴델에게 빠졌고, 아마 한국에서 출간한 괴델 관련 서적은 다 사서 읽은 것 같다. 하지만 여전히 괴델은, 어렵다. ㅠ_ㅠ 그럼에도 매력적인 건, 비록 괴델의 의도와는 상당히 동떨어진 방식으로 상상력을 펼친다고 해도, 많은 상상력을 가능하게 하기 때문이다. 그리고 이 책은 이토록 어려우면서도 매력적인 괴델의 삶과 증명을 꽤나 알기 쉽게 풀어놓고 있다. (물론 나는 여전히 어렵다. ㅠ_ㅠ)

물론, 그의 삶이 매력적인 만큼이나 화나는 상황들도 많지만.